Considereu una matriu amb files i columnes, amb , i sigui la seva matriu trasposada.

1) Demostreu que és invertible si i sols si les columnes de són linealment independents. En el que segueix suposarem que aquest és el cas.

2) Com que , té vectors nuls per l’esquerra, linealment independents. Els posem en les files d’una matriu amb    files i columnes, de manera que

.

Demostreu que és invertible.

3) Considereu ara la matriu

Demostreu que les files de són linealment independents.

4) Tenint en compte els resultats de 1) i 2), és immediat veure que la inversa de per la dreta, que satisfà , és

5) Com que és invertible, la inversa és única, i demanant que s’arriba a

Aquest és un resultat força interessant i alhora senzill, amb moltes aplicacions a diverses branques de la matemàtica aplicada, des de la teoria de control a l’anàlisi de dades.

El recent i desgraciat accident de l’Airbus 330 d’Air France ha fet que alguns es preguntin com és possible que no es localitzin les restes submergides de l’avió mitjançant radar, o per què no es reben els senyals de les caixes negres.

La raó principal és que l’aigua salada és un conductor elèctric prou bo, i les ones electromagnètiques penetren molt poc en els materials conductors. Per a l’aigua salada, la distància de penetració (en metres) es pot calcular dividint 240 per l’arrel quadrada de la freqüència, expressada en oscil·lacions per segon, o Hertz (Hz): com més alta és la freqüència, menys pot avançar el senyal en l’aigua. Els senyals utilitzats en navegació, radar i ràdio van des dels centenars de kHz (1 kHz = 1000 Hz) fins a alguns milers de GHz (1 GHz = 1000000 kHz). El cas més favorable per a la propagació, 100 kHz, dóna una penetració en el mar de menys d’un metre.

Durant la guerra freda, tant els EEUU com la URSS van desenvolupar sistemes de ràdio de freqüència extremadament baixa, d’entre 50 i 100 Hz, per contactar amb els seus submarins nuclears. Aquestes freqüències poden penetrar en el mar fins a algunes dotzenes de metres. A tant baixa freqüència, però, el flux d’informació que es pot transmetre és mínim, poc més que un senyal d’emergència per avisar que es pugi a superfície i comunicar-se amb la ràdio normal. A més, calen instal·lacions enormes per poder emetre aquestes ones.

Com que no poden emprar ones electromagnètiques, les caixes negres submergides emeten sons de 37.5 kHz en totes direccions. Això està per sobre del límit que pot detectar l’oïda humana, però te l’avantatge que no es pot confondre amb altres fons naturals de so. El problema és que les ones acústiques són desviades molt fàcilment per capes d’aigua a diferent temperatura i a més els hidròfons per detectar-les s’han de baixar molt avall perquè l’abast dels emissors de les caixes negres és de pocs kilòmetres.

Per cert, el llamp és un fenomen electromagnètic. Els metalls que formen l’estructura d’un avió tenen conductivitat molt més elevada que l’aigua salada, i la distància de penetració, a la mateixa freqüència, és unes 3000 vegades més petita: a 100 kHz és de menys de 0.3 mm. Això vol dir que quan un llamp toca un avió, rellisca per la seva superfície, i acaba marxant per alguna part angulosa, com la punta de les ales o la cua.

Si demanéssim a la gent quina creu que és la feina dels matemàtics, les respostes contindrien segurament expressions com “escriure números molt grans”, o “fer operacions molt ràpidament”,  però molt pocs esmentarien el paper de les matemàtiques en la indústria.

En realitat, la majoria de les persones que es dediquen professionalment a les matemàtiques fan molt poques operacions amb números. Una part d’elles fa matemàtica fonamental, que intenta descobrir noves relacions entre entitats abstractes, i d’altres fan matemàtica aplicada, que intenta emprar els resultats obtinguts pels primers per resoldre problemes de la ciència i la tecnologia.

Els resultats d’uns i altres, però, acaben finalment emprant-se en la industria i els serveis, i el seu impacte econòmic és molt important. Trobaríem molts exemples procedents de la medicina, la química o la biologia, entre d’altres, però remarcarem la importància de les matemàtiques per a l’enginyeria i, més en concret, per al desenvolupament de  productes industrials.

Tradicionalment, quan es volia fabricar un nou producte es feien uns càlculs teòrics i després es construïa un prototip real, sobre el que es feien modificacions fins aconseguir que funcionés segons les especificacions inicials, que a vegades s’havien d’acabar canviant. El cicle especificacions-càlculs-prototip-experiments podia repetir-se moltes vegades i els resultats no eren sempre els desitjats.  Aquesta manera de fer enginyeria no és avui en dia competitiva, donat que els productes són cada vegada més complexos i la modificació dels prototips massa costosa en temps i diners.

Per sort, els progressos en velocitat i memòria dels ordinadors han permès utilitzar eines matemàtiques molt avançades per desenvolupar prototips virtuals, que són conjunts molt complexos d’equacions que reflecteixen amb tanta precisió com es vulgui el comportament real del producte, i que permeten canviar-ne el disseny i veure’n els resultats en la pantalla de l’ordinador en molt poc temps i amb cost pràcticament nul. Això és fonamental si es vol portar un nou producte  al mercat abans que la competència, o adaptar-ne un a les necessitats d’un client.

El cor dels prototips virtuals són les matemàtiques, amb els seus teoremes i equacions, i és una de les tasques de l’enginyeria posar-hi un “cos” al voltant per obtenir un model que reflecteixi acuradament el sistema que es vol desenvolupar.

un grup d’investigadors dels laboratoris de Hewlett-Packard (HP) han publicat un article sobre un nou dispositiu electrònic elemental, de mida molt petita, que promet augmentar en un nou ordre de magnitud la capacitat de memòria i de càlcul dels nostres ordinadors. Els científics de HP afirmen que poden emmagatzemar, de moment en mostres de laboratori, fins a 100 gigabytes en un centímetre quadrat, unes 10 vegades la densitat de memòria de les RAM actuals, i creuen que encara ho poden millorar força. Això ha estat possible gràcies al desenvolupament de noves tècniques en el camp de la nanotecnologia, que treballa amb dimensions d’una milionèsima de mil·límetre. De fet, els elements fonamentals del dispositiu de HP tenen menys de 150 àtoms d’amplada.

Dins del vertiginós món de la tecnologia electrònica, aquest avanç no tindria res d’especial si no fos pel fet que el dispositiu de HP està basat en un nou tipus d’element de la teoria de circuits que havia estat predit teòricament al començament dels anys 70 del segle passat, però que no s’havia pogut construir en tot aquest temps. L’any 1971, Leon O. Chua, de la Universitat de California, va analitzar les equacions de la teoria de circuits des d’un punt de vista que ningú havia considerat en els 100 anys anteriors, i va veure que hi havia un forat en les relacions bàsiques d’aquesta teoria que podia ser omplert proposant l’existència d’un nou tipus d’element diferent de la resistència, el condensador i la bobina habituals. Així va proposar l’existència del memristor, el nom del qual indica que és com una resistència però amb memòria, capaç de recordar la càrrega total portada pel corrent que hi passa a través. Chua va estudiar a fons les propietats teòriques d’aquest nou element, i fins i tot va simular en el laboratori el comportament del memristor emprant circuits complexos formats per molts elements convencionals, però no va ser capaç d’obtenir quelcom simple i no compost d’altres elements que en tingués les característiques: per a això havien de passar quasi quaranta anys.

Al començament del darrer terç del segle XIX, el físic escocès James C. Maxwell va afegir un terme nou a les equacions que llavors es coneixien de l’electricitat i el magnetisme. Aquest pas purament teòric va revolucionar la nostra història, ja que les equacions que va escriure Maxwell constitueixen la base de quasi tota la nostra tecnologia de comunicacions i de subministrament d’energia. Haurem d’esperar una mica per veure quin és l’impacte de l’element perdut de Chua, però de moment podem dir que fins i tot en un camp tan poc misteriós com la teoria de circuits, que els nostres estudiants d’enginyeria aprenen als primers cursos, encara hi ha lloc per a les sorpreses.

Referències:

1. Dmitri B. Strukov, Gregory S. Snider, Duncan R. Stewart & R. Stanley Williams, “The missing memristor found”, Nature 453, 80-83 (2008).
2. Leon O. Chua, “Memristor – The missing circuit element”, IEEE Transactions on Circuit Theory 18, 507-519 (1971).

1. Demostreu que és periòdica amb periode .
2. Demostreu que, a ,
3. Calculeu el mínim absolut, , i el màxim absolut, , de en . Feu servir que
4. Demostreu que .
5. Del resultat anterior es dedueix que per a prou gran els valors de es poden aproximar raonablement per una constant, com ara la seva mitjana .
6. Demostreu que .
7. Demostreu que, de fet, la sèrie de Fourier completa de és .

L’interès matemàtic d’aquest problema és que cal emprar una bona part del càlcul d’una variable de primer any d’universitat (valor absolut, identitats trigonomètriques, derivació, càlcul d’extrems absoluts, regla de L’Hôpital, integració) , a més de sèries de Fourier. Des del punt de vista de l’enginyeria elèctrica, permet demostrar que un motor de corrent continu amb moltes espires es pot aproximar com un girador, que és com un transformador però creuant les variables: el parell mecànic és proporcional al corrent de rotor i el voltatge de rotor és proporcional a la velocitat angular.