Un problema d’àlgebra

29 Juny 2009

El següent problema porta a un resultat que és important a la teoria de control de sistemes i a altres camps.

Considereu una matriu g amb n files i m columnes, amb m<n, i sigui g^T la seva matriu trasposada.

1) Demostreu que g^Tg és invertible si i sols si les columnes de g són linealment independents. En el que segueix suposarem que aquest és el cas.

2) Com que m<n, g té n-m vectors nuls per l’esquerra, linealment independents. Els posem en les files d’una matriu g^\perp amb  n-m  files i n columnes, de manera que

g^\perp g =0.

Demostreu que g^\perp (g^\perp)^T és invertible.

3) Considereu ara la matriu n\times n

Q=\left(\begin{array}{c} g^\perp \\ g^T\end{array}\right).

Demostreu que les n files de Q són linealment independents.

4) Tenint en compte els resultats de 1) i 2), és immediat veure que la inversa de Q per la dreta, que satisfà QQ^{-1}=\text{Id}_n, és

Q^{-1}= \left( \begin{array}{cc} (g^\perp)^T \left(g^\perp (g^\perp)^T\right)^{-1} & g \left(g^T g\right)^{-1}\end{array}\right).

5) Com que Q és invertible, la inversa és única, i demanant que Q^{-1}Q=\text{Id}_n s’arriba a

(g^\perp)^T \left(g^\perp (g^\perp)^T\right)^{-1}g^\perp + g \left(g^T g\right)^{-1}g^T = \text{Id}_n.

Aquest és un resultat força interessant i alhora senzill, amb moltes aplicacions a diverses branques de la matemàtica aplicada, des de la teoria de control a l’anàlisi de dades.

Deixa un Comentari » | Uncategorized | Enllaç permanent
Publicat per carlesbatlle