Un problema d’àlgebra

El següent problema porta a un resultat que és important a la teoria de control de sistemes i a altres camps.

Considereu una matriu amb files i columnes, amb , i sigui la seva matriu trasposada.

1) Demostreu que és invertible si i sols si les columnes de són linealment independents. En el que segueix suposarem que aquest és el cas.

2) Com que , té vectors nuls per l’esquerra, linealment independents. Els posem en les files d’una matriu amb    files i columnes, de manera que

.

Demostreu que és invertible.

3) Considereu ara la matriu

Demostreu que les files de són linealment independents.

4) Tenint en compte els resultats de 1) i 2), és immediat veure que la inversa de per la dreta, que satisfà , és

5) Com que és invertible, la inversa és única, i demanant que s’arriba a

Aquest és un resultat força interessant i alhora senzill, amb moltes aplicacions a diverses branques de la matemàtica aplicada, des de la teoria de control a l’anàlisi de dades.

Radars, caixes negres i llamps

El recent i desgraciat accident de l’Airbus 330 d’Air France ha fet que alguns es preguntin com és possible que no es localitzin les restes submergides de l’avió mitjançant radar, o per què no es reben els senyals de les caixes negres.

La raó principal és que l’aigua salada és un conductor elèctric prou bo, i les ones electromagnètiques penetren molt poc en els materials conductors. Per a l’aigua salada, la distància de penetració (en metres) es pot calcular dividint 240 per l’arrel quadrada de la freqüència, expressada en oscil·lacions per segon, o Hertz (Hz): com més alta és la freqüència, menys pot avançar el senyal en l’aigua. Els senyals utilitzats en navegació, radar i ràdio van des dels centenars de kHz (1 kHz = 1000 Hz) fins a alguns milers de GHz (1 GHz = 1000000 kHz). El cas més favorable per a la propagació, 100 kHz, dóna una penetració en el mar de menys d’un metre.

Durant la guerra freda, tant els EEUU com la URSS van desenvolupar sistemes de ràdio de freqüència extremadament baixa, d’entre 50 i 100 Hz, per contactar amb els seus submarins nuclears. Aquestes freqüències poden penetrar en el mar fins a algunes dotzenes de metres. A tant baixa freqüència, però, el flux d’informació que es pot transmetre és mínim, poc més que un senyal d’emergència per avisar que es pugi a superfície i comunicar-se amb la ràdio normal. A més, calen instal·lacions enormes per poder emetre aquestes ones.

Com que no poden emprar ones electromagnètiques, les caixes negres submergides emeten sons de 37.5 kHz en totes direccions. Això està per sobre del límit que pot detectar l’oïda humana, però te l’avantatge que no es pot confondre amb altres fons naturals de so. El problema és que les ones acústiques són desviades molt fàcilment per capes d’aigua a diferent temperatura i a més els hidròfons per detectar-les s’han de baixar molt avall perquè l’abast dels emissors de les caixes negres és de pocs kilòmetres.

Per cert, el llamp és un fenomen electromagnètic. Els metalls que formen l’estructura d’un avió tenen conductivitat molt més elevada que l’aigua salada, i la distància de penetració, a la mateixa freqüència, és unes 3000 vegades més petita: a 100 kHz és de menys de 0.3 mm. Això vol dir que quan un llamp toca un avió, rellisca per la seva superfície, i acaba marxant per alguna part angulosa, com la punta de les ales o la cua.