Un problema complet de càlcul d’una variable

La següent funció apareix quan hom estudia el parell generat per un motor de corrent continu amb N espires uniformement distribuïdes en el rotor:

f(\theta)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \left|\sin\left(\theta+\frac{k\pi}{N}\right)\right|.
  1. Demostreu que f(\theta) és periòdica amb periode \pi/N.
  2. Demostreu que, a (0,\pi / N), f(\theta)=\frac{1}{N}\sin\theta + \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \sin\left(\theta+\frac{k\pi}{N}\right).
  3. Calculeu el mínim absolut, m_f, i el màxim absolut, M_f, de f en \left[0,\pi/N\right]. Feu servir que \sum_{k=1}^{N-1}\cos\left(\theta + \frac{k\pi}{N}\right) = -\frac{\sin\frac{\pi}{N}}{1-\cos\frac{\pi}{N}}\sin\theta.
  4. Demostreu que \lim_{N\to\infty}M_f=\lim_{N\to\infty}m_f=\frac{2}{\pi}.
  5. Del resultat anterior es dedueix que per a N prou gran els valors de f(x) es poden aproximar raonablement per una constant, com ara la seva mitjana \bar f = \frac{1}{\pi/N} \int_0^{\pi/N} f(\theta)\ \text{d}\theta.
  6. Demostreu que \bar f = \frac{2}{\pi}.
  7. Demostreu que, de fet, la sèrie de Fourier completa de f és f(\theta)=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4N^2k^2-1}\cos 2kN\theta.

L’interès matemàtic d’aquest problema és que cal emprar una bona part del càlcul d’una variable de primer any d’universitat (valor absolut, identitats trigonomètriques, derivació, càlcul d’extrems absoluts, regla de L’Hôpital, integració) , a més de sèries de Fourier. Des del punt de vista de l’enginyeria elèctrica, permet demostrar que un motor de corrent continu amb moltes espires es pot aproximar com un girador, que és com un transformador però creuant les variables: el parell mecànic és proporcional al corrent de rotor i el voltatge de rotor és proporcional a la velocitat angular.

Aquesta entrada ha estat enviada el Divendres, Gener 18th, 2008 a les 4:57 pm i està arxivada sota Matemàtica aplicada. Pots seguir qualsevol resposta a aquesta entrada a través de la sindicació RSS 2.0. Pots deixar una resposta, o utilitzar un retroenllaç de la teva web.

Una resposta cap a “Un problema complet de càlcul d’una variable”

  1. Simoneta Diu:
    25 Gener 2008 a les 12:46 pm | Respon

    Quan posaràs més problemes? Aquest el trobo força interessant.

Deixa un comentari