Un problema complet de càlcul d’una variable

18 Gener 2008

La següent funció apareix quan hom estudia el parell generat per un motor de corrent continu amb N espires uniformement distribuïdes en el rotor:

f(\theta)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \left|\sin\left(\theta+\frac{k\pi}{N}\right)\right|.
  1. Demostreu que f(\theta) és periòdica amb periode \pi/N.
  2. Demostreu que, a (0,\pi / N), f(\theta)=\frac{1}{N}\sin\theta + \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \sin\left(\theta+\frac{k\pi}{N}\right).
  3. Calculeu el mínim absolut, m_f, i el màxim absolut, M_f, de f en \left[0,\pi/N\right]. Feu servir que \sum_{k=1}^{N-1}\cos\left(\theta + \frac{k\pi}{N}\right) = -\frac{\sin\frac{\pi}{N}}{1-\cos\frac{\pi}{N}}\sin\theta.
  4. Demostreu que \lim_{N\to\infty}M_f=\lim_{N\to\infty}m_f=\frac{2}{\pi}.
  5. Del resultat anterior es dedueix que per a N prou gran els valors de f(x) es poden aproximar raonablement per una constant, com ara la seva mitjana \bar f = \frac{1}{\pi/N} \int_0^{\pi/N} f(\theta)\ \text{d}\theta.
  6. Demostreu que \bar f = \frac{2}{\pi}.
  7. Demostreu que, de fet, la sèrie de Fourier completa de f és f(\theta)=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4N^2k^2-1}\cos 2kN\theta.

L’interès matemàtic d’aquest problema és que cal emprar una bona part del càlcul d’una variable de primer any d’universitat (valor absolut, identitats trigonomètriques, derivació, càlcul d’extrems absoluts, regla de L’Hôpital, integració) , a més de sèries de Fourier. Des del punt de vista de l’enginyeria elèctrica, permet demostrar que un motor de corrent continu amb moltes espires es pot aproximar com un girador, que és com un transformador però creuant les variables: el parell mecànic és proporcional al corrent de rotor i el voltatge de rotor és proporcional a la velocitat angular.

1 Comentari | Matemàtica aplicada | Enllaç permanent
Publicat per carlesbatlle